Question

如图，点P在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上，F₁，F₂分别是双曲线的左右焦点，|PF₂|=|F₁F₂|，直线PF₁与圆x²+y²=a²相切，则双曲线的离心率e（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  5

  3

• C、

  3

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先设PF₁与圆相切于点M，利用|PF₂|=|F₁F₂|，及直线PF₁与圆x²+y²=a²相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．

解答： 解：设PF₁与圆相切于点M，因为|PF₂|=|F₁F₂|，所以△PF₁F₂为等腰三角形，
所以|F₁M|=

1

4

|PF₁|，
又因为在直角△F₁MO中，|F₁M|²=|F₁O|²-a²=c²-a²，所以|F₁M|=b=

1

4

|PF₁|①
又|PF₁|=|PF₂|+2a=2c+2a   ②，
c²=a²+b² ③
由①②③解得

c

a

=

5

3

．
故选：B．

点评：本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题．