Question

【题目】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 ＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：

化简得y2=4x（x＞0）．

（2）解：设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

设l的方程为x=ty+m，由 得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，

于是 ①

又 ． （x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②

又 ，于是不等式②等价于 ③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④

对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得 ．

由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 ，且m的取值范围 ．

【解析】（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（2）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现 ＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．