Question

【题目】已知F1、F2分别为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为 ，点A（﹣ ， ）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线F2M与F2N的倾斜角互补，且直线l是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵F1、F2分别为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，

且离心率为 ，点A（﹣ ， ）在椭圆C上．

∴ ，解得a2=2，b2=1．

∴椭圆C的方程为

（2）解：由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，

由 ，

消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，

设M（ ， ，

又kF2M= ， ，

由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补，

得 ．

化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，

∴

整理得m=﹣2k．

直线MN的方程为y=k（x﹣2），

因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．

【解析】（1）由已知得 ，由此能求出椭圆C的方程．（2）由题意知直线MN存在斜率，其方程为y=kx+m，由 ，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件推导出直线MN过定点（2，0）．