Question

【题目】如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点．

（1）求证：FD∥平面ABC；
（2）求二面角B﹣FC﹣G的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连CG，FG，则四边形DEGC是平行四边形，得到DF∥CG

DF平面ABC，CG平面ABC

所以FD∥平面ABC；

（2）解：设二面角B﹣FC﹣G的大小为α

易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影

∴cosα=

∴tanα=

【解析】（1）连CG，FG，由已知中F是BE的中点，结合三角形中位线的性质，可得FG平行且等于AE的一半，又由EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=2a，DC=a，可得四边形DEGC是平行四边形，进而得到DF∥CG，由线面平行的判定定理即可得到FD∥平面ABC；（2）易知BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC的射影，故分别计算面积可求二面角的余弦值，从而得解．