Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx+φ}{2}$cos$\frac{ωx+φ}{2}$+sin²$\frac{ωx+φ}{2}$（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）．其图象的两个相邻对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，且过点（$\frac{π}{3}$，1）．
（Ⅰ）函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知$\frac{sinC}{2sinA-sinC}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}$．且f（A）=$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，求角C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，结合条件求出周期，由周期公式求出ω，将点$（\frac{π}{3}，1）$代入解析式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出φ，即可求出f（x）；
（Ⅱ）由正弦定理和余弦定理化简已知的式子，利用两角和的正弦公式和内角的范围求出B，由解析式化简$f（A）=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，根据角A的范围和特殊角的三角函数值求出A，再由内角和定理求出C．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（ωx+φ）+$\frac{1}{2}$[1-cos（ωx+φ）]
=$sin（ωx+φ-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∵两个相邻对称中心的距离为$\frac{π}{2}$，则T=π，
∴$\frac{2π}{|ω|}=π$，且ω＞0，解得ω=2，
又f（x）过点$（\frac{π}{3}，1）$，∴$sin（2×\frac{π}{3}+φ-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$，
则$sin（\frac{π}{2}+φ）=\frac{1}{2}$，即cosφ=$\frac{1}{2}$，由0＜φ＜$\frac{π}{2}$得，φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
∴b²-a²-c²=-2accosB，
同理可得，c²-a²-b²=-2abcosC，
代入$\frac{sinC}{2sinA-sinC}=\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}$得，$\frac{sinC}{2sinA-sinC}=\frac{-2accosB}{-2abcosC}$=$\frac{ccosB}{bcosC}$，
由正弦定理得，$\frac{sinC}{2sinA-sinC}=\frac{sinCcosB}{sinBcosC}$，
由0＜C＜π得sinC≠0，∴sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，
由0＜A＜π得sinA≠0，化简得cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$，
由$f（A）=\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$得$sin（2A+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，则$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{3π}{2}$，则$2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$或$2A+\frac{π}{6}=\frac{2π}{3}$，
解得$A=\frac{π}{12}$或$A=\frac{π}{4}$，
所以当$A=\frac{π}{12}$时，$C=\frac{7}{12}π$；当$A=\frac{π}{4}$时，$C=\frac{5}{12}π$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的灵活应用，三角恒等变换的公式，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．