Question

18．已知函数f（x）=（x-k-1）e^x．
（Ⅰ）当x＞0时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂＜2k．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论k的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）不妨设x₁＜k＜x₂＜k+1，问题转化为证明2k-x₁＞x₂，即证f（2k-x₁）＞f（x₂），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f'（x）=（x-k）e^x，x＞0．（1分）
（i）当k≤0时，f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间；无极值．（3分）
（ii）当k＞0时，由f'（x）＞0得，x＞k；由f'（x）＜0得，0＜x＜k；
∴f（x）的递减区间是（0，k），递増区间是（k，+∞），f（x）的极小值为f（k）=-e^k，无极大值．（5分）
（Ⅱ）由已知f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），
结合（Ⅰ）可知，k＞0，f（x）在（-∞，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，
又f（k+1）=0，x＜k+1时，f（x）＜0．…（6分）
不妨设x₁＜k＜x₂＜k+1，
此时x₂＞k，2k-x₁＞k，
故要证x₁+x₂＜2k，只要证2k-x₁＞x₂，
只要证f（2k-x₁）＞f（x₂），
因f（x₁）=f（x₂），即证f（2k-x₁）＞f（x₁）．（8分）
设g（x）=f（2k-x）-f（x）=$\frac{{（-x+k-1）{e^{2k}}}}{e^x}\;-（x-k-1）{e^x}\;（x＜k）$，
$g'（x）=\frac{{（x-k）{e^{2k}}}}{e^x}-（x-k）{e^x}$=$\frac{{（x-k）（{e^{2k}}-{e^{2x}}\;）}}{{{e^x}\;}}$，（9分）
∴当x＜k时，g'（x）＜0，g（x）在（-∞，k）上单调递减，（10分）
∴x∈（-∞，k）时，g（x）＞g（k）=-e^k+e^k=0，（11分）
故当x＜k时，f（2k-x）＞f（x），即f（2k-x₁）＞f（x₁）成立，
∴x₁+x₂＜2k．（12分）

点评 本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．