Question

8．在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，那么平行四边形ABCD 是（　　）

• A． 平行四边形
• B． 菱形
• C． 矩形
• D． 正方形

Answer 1

分析 根据向量数量积的关系，利用平方法得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即可得到结论．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，平方得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，
即|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²，
则2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，即AB⊥AD，
则平行四边形ABCD 是矩形，
故选：C

点评 本题主要考查平行四边形形状的判断，利用向量数量积的定义，利用平方法是解决本题的关键．