Question

7．已知f（x）=lnx-ax
（1）讨论f（x）单调性．
（2）若f（x）在（1，2）上单调递减，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，对a进行分类讨论，利用导数的正负性讨论函数的单调性；
（2）由（1）的结论知，（1，2）是区间（$\frac{1}{a}$，+∞）的子集，求出a的取值范围．

解答 解；（1）定义域为（0，+∞），
${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-a$=$\frac{1-ax}{x}$，
①当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＞0时，由f′（x）=0得，x=$\frac{1}{a}$，当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减；
（2）由（1）知（1，2）⊆（$\frac{1}{a}$，+∞）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{a}≤1}\end{array}\right.$∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，运用了分类讨论思想，属于中档题．