Question

已知函数f（x）=log₃

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，函数g（x）=f（x），求函数g（x）的值域．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据对数式的真数部分大于0，构造关于x的不等式，解不等式可得函数f（x）的定义域；
（II）根据函数的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），结合函数奇偶性的定义，可得结论；
（III）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，先求出真数部分的取值范围，进而可得函数g（x）的值域．

解答： 解：（I）要使函数f（x）=log₃

1-x

1+x

的解析式有意义，
自变量x须满足：

1-x

1+x

＞0，
解得x∈（-1，1），
故函数f（x）的定义域为（-1，1），
（II）由（I）得函数的定义域关于原点对称，
且f（-x）=log₃

1+x

1-x

=log₃（

1-x

1+x

）^-1=-log₃

1-x

1+x

=-f（x）．
故函数f（x）为奇函数，
（III）当x∈[-

1

2

，

1

2

]时，
令u=

1-x

1+x

，则u′=-

2

(1+x)2

＜0，
故u=

1-x

1+x

在[-

1

2

，

1

2

]上为减函数，
则u∈[

1

3

，3]，
又∵g（x）=f（x）=log₃u为增函数，
故g（x）∈[-1，1]，
故函数g（x）的值域为[-1，1]．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，值域，奇偶性，解分式不等式，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．