Question

已知函数f（x）=e^x-1-ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试探究函数F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，分别讨论①当a≤0时②当a＞0时的情况从而得出结论，（2）f（x）-xlnx定义域为（0，+∞），由F（x）=0⇒a=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，则h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，x＞0，从而h（x）≥h（1）=e-1，由e^x-1＞x?

ex-1

x

＞1，进而得出结论．

解答： 解：（1）由f（x）=e^x-1-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，则?x∈R，有f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增；
②当a＞0时，f′（x）＞0⇒x＞ln，f′（x）＜0⇒x＜lna，
∴函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna），
综合①②的当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞），
当a＞时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna），
（2）函数F（x）=f（x）-xlnx定义域为（0，+∞），
又F（x）=0⇒a=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
则h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，x＞0，
∴h′（x）＞0⇒x＞1，h′（x）＜0⇒0＜x＜1，
故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）≥h（1）=e-1，
有由（1）知当a=1时，对?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，
即e^x-1＞x?

ex-1

x

＞1，
∴当x＞0且x趋向0时，h（x）趋向+∞，
随着x＞0的增长，y=e^x-1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x²的增长速度，
而y=lnx的增长速度则会越来越慢．
故当x＞0且x趋+∞时，h（x趋向+∞．
得到函数h（x）的草图如图所示：
故①当a＞e-1时，函数F（x）有两个不同的零点；
③当a=e-1时，函数F（x）有且仅有一个零点；
③当a＜e-1时，函数F（x）无零点．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点的判判定，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．