Question

已知一个圆锥的母线长为20cm，当圆锥的高为多少时体积最大？最大体积是多少？

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：导数的综合应用

分析：设圆锥的底面半径为r，高为h，表示出圆锥的体积，利用但是判断函数的单调性求出函数的最大值即可．

解答： 解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则r²+h²=20²，即r²=400-h²，
圆锥的体积为：V=

1

3

πr2h=

1

3

π(400h-h3)．（0＜h＜20）．
∴V′=

1

3

π(400-3h2)=π(h+

20 3

3

)(h-

20 3

3

)，
当h变化时，V′（h），V（h）的变化情况如下表：

h	（0， 20 3 3 ）	20 3 3	( 20 3 3 ，20)
V′（h）	+	0	-
V（h）	↑	16000 3 π 27	↓

由上表可知，当h=

20 3

3

时，V（h）有最大值

16000 3 π

27

．
答：当圆锥的高为

20 3

3

cm时体积最大，最大体积是

16000 3 π

27

，cm³．

点评：本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数求解函数的最值的基本方法，考查计算能力．