Question

（文）已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

Sn+1-1

}的前n项和为K_n，证明：对于任意的n∈N^*，都有K_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+a_n+1=4n，得a_n+1+a_n+2=4（n+1），两式相减得a_n+2-a_n=4，由此能求出a_n=2n-1．
（2）Sn=

n(a1+an)

2

=n2，

1

Sn+1-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求和法能证明对于任意的n∈N^*，都有K_n＜

3

4

．

解答： （文）（1）解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，
∴a_n+1+a_n+2=4（n+1），两式相减得：
a_n+2-a_n=4，即数列{a_n}隔项成等差数列
又a₁=1，代入式子可得a₂=3，
∴n为奇数时，an=a1+4(

n+1

2

-1)=2n-1；
n为偶数时，an=a2+4(

n

2

-1)=2n-1．
∴n∈N^*，a_n=2n-1
（2）证明：由（1）知a_n=2n-1，数列{a_n}成等差数列，
∴Sn=

n(a1+an)

2

=n2，

1

Sn+1-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Kn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

＜

3

4

．
∴对于任意的n∈N^*，都有K_n＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．