Question

已知f（n）=（2n+7）•3n+9，是否存在自然数m使得任意的n∈N^*，都有m整除f（n）？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：推理和证明

分析：由已知中f（n）=（2n+7）•3n+9，求出f（1），f（2），f（3），可猜想：f（n）能被36整除，进而用数学归纳法可证明得到结论．

解答： 解：∵f（n）=（2n+7）•3n+9，
∴f（1）=36，f（2）=108，f（3）=360，
猜想：f（n）能被36整除，下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，结论显然成立；
（2）假设当n=k（k≥1，k∈N*）时结论成立，
即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除．
则当n=k+1时，
f（k+1）=（2k+9）•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
由假设知3[（2k+7）•3k+9]能被36 整除，
又3k-1-1是偶数，
故18（3k-1-1）也能被36 整除．
即n=k+1时结论也成立．
故由（1）（2）可知，对任意正整数n都有f（n）能被36整除．
由f（1）=36知36是整除f（n）的最大值．

点评：本题考查的知识点是归纳推理与数列归纳法，难度不大，属于基础题．