Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=b^x-1（b＞0且b≠1，b均为常数）的图象上．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）当b=2时，记b_n=

n+1

4an

（n∈N⁺），证明：数列{b_n}的前n项和T_n＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得Sn=bn-1，由此求出an=(1-

1

b

)•bn，n∈N^*．从而证明{a_n}是等比数列．
（2）b=2时，an=2n-1，b_n=

n+1

4an

=

n+1

2n+1

，由此利用错位相减法能证明T_n＜

3

2

．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，
对任意的n∈N⁺，点（n，S_n）均在函数y=b^x-1的图象上，
∴Sn=bn-1，
a₁=S₁=b-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ-1-b^n-1+1=（1-

1

b

）•bⁿ．
n=1时，上式成立，
∴an=(1-

1

b

)•bn，n∈N^*．
∴{a_n}是等比数列．
（2）b=2时，an=2n-1，b_n=

n+1

4an

=

n+1

2n+1

，
Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

Tn=

2

23

+

2

24

+…+

n+1

2n+2

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 8 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n＜

3

2

．

点评：本题是函数与数列、不等式的综合．主要考查等比数列定义，及利用错位相消法来处理数列求和、恒成立问题．