Question

已知f（x）=mlnx-

1

2

x（m∈R），g（x）=2cos²x+sinx+a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
〔Ⅱ）当m=

1

2

时，对于任意x₁∈[

1

e

，e]，总存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用导数的运算法则可得：f′（x）=

m

x

-

1

2

=

2m-x

2x

（x＞0）．对m分类讨论：当m≤0时，当m＞0时，即可得出其单调区间．
（II）对于任意x₁∈[

1

e

，e]，总存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立f（x）_max?≤g（x）_max．利用（I）的结论可得f（x）的最大值，利用二次函数的单调性可得g（x）的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=

m

x

-

1

2

=

2m-x

2x

（x＞0）．
当m≤0时，f′（x）≤0，此时函数在（0，+∞）单调递减．
当m＞0时，由f′（x）=0，解得x=2m．
令f′（x）＞0，解得0＜x＜2m，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得2m＜x，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，2m），单调递减区间为（2m，+∞）．
（II）对于任意x₁∈[

1

e

，e]，总存在x₂∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≤g（x₂）成立f（x）_max?≤g（x）_max．
当m=

1

2

时，f（x）=

1

2

lnx-

1

2

x，由（I）可知：当x∈[

1

e

，1]时，函数f（x）单调递增；
当x∈[1，e]时，函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（x）_max=f（1）=-

1

2

．
当x∈[0，

π

2

]时，sinx∈[0，1]．
g（x）=2cos²x+sinx+a=2（1-sin²x）+sinx+a=-2sin²x+sinx+2+a=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

+a．
∴当sinx=

1

4

时，g（x）_max=g(

1

4

)=a+

17

8

．
∴-

1

2

≤a+

17

8

，解得a≥-

21

8

．
∴实数a的取值范围是[-

21

8

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．