Question

已知函数f（x）=x²+（lnx）²-2a（x+lnx）+2a²+1，a∈R，设g（x）=

1

2

f′（x），当g（x）在x＞0上是增函数时，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数g（x）的表达式，再由g′（x）=1+

1

x2

（1+a-lnx）＞0，得到a＞lnx-x²-1，令h（x）=lnx-x²-1，通过求导得到h（x）的最大值，从而求出a的范围．

解答： 解：∵f′（x）=2x+

1

x

（2lnx-2a）-2a，
∴g（x）=x+

1

x

（lnx-a）-a，
∴g′（x）=1+

1

x2

（1+a-lnx）＞0，
∴a＞lnx-x²-1，
令h（x）=lnx-x²-1，
∴h′（x）=

1

x

-2x，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜

2

2

，
∴h（x）在（0，

2

2

）递增，在（

2

2

，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（

2

2

）=-

1

2

ln2-

3

2

，
∴a的范围是（-

1

2

ln2-

3

2

，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式恒成立问题，是一道中档题．