Question

已知函数f（x）是奇函数，存在常数a＞0使得f（a）=1，对任意实数x，y，有f（x-y）=

f(x)f(y)+1

f(y)-f(x)

，其中f（x）≠f（y）．若f（y）有意义，试证明：存在常数T＞0，使得f（x+T）=f（x）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：令y=a，得到f（x-a）=

f(x)+1

1-f(x)

，将x换成x-a，再x换成x-2a，化简得到f（x+4a）=f（x），再由周期函数的定义可得T=4a，从而得证．

解答： 证明：令y=a，则∵f（a）=1
∴f（x-a）=

f(x)f(a)+1

f(a)-f(x)

=

f(x)+1

1-f(x)

，
∴f（x-2a）=

1+f(x-a)

1-f(x-a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

2

-2f(x)

∴f（x-4a）=

1

-f(x-2a)

=

1

1 f(x)

=f（x），
即f（x+4a）=f（x），
即T=4a，
故存在常数T＞0，使得f（x+T）=f（x）．

点评：本题考查函数的周期的求法，运用赋值法是解决此类问题的关键，注意定义的运用．