Question

正方形S₁和S₂内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设∠A=α，若S₁=441，S₂=440，则sin2α=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：解三角形

分析：首先根据在正方形S₁和S₂内，S₁=441，S₂=440，分别求出两个正方形的边长，然后分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC=AM+MC，列出关于α的三角函数等式，求出sin2α的值即可．

解答： 解：因为S₁=441，S₂=440，
所以FD=

441

=21，MQ=MN=

440

，
因为AC=AF+FC=

FD

tanα

+21=

21

tanα

+21，
AC=AM+MC=

MQ

sinα

+MNcosα=

440

sinα

+

440

cosα，
所以

21

tanα

+21=

440

sinα

+

440

cosα，
整理，可得

440

(sinαcosα+1)=21(sinα+cosα)，
两边平方，可得110sin²2α-sin2α-1=0，
解得sin2α=

1

10

或sin2α=-

1

11

（舍去），
故sin2α=

1

10

．
故答案为：

1

10

．

点评：本题主要考查了三角函数的求值问题，考查了正方形、直角三角形的性质，属于中档题，解答此题的关键是分别表示出AF、FC、AM、MC的长度，最后根据AF+FC=AM+MC，列出关于α的三角函数等式．