Question

14．已知函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）利用定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）当x∈（0，1]时，t•f（2^x）≥2^x-1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）任取0＜x₁＜x₂，利用定义作差后化简为f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{+x}_{1}x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，再讨论乘积的符号，即可证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）当x∈（0，1]时，t•f（2^x）≥2^x-1恒成立?t≥$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$ 恒成立，构造函数g（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，利用其单调性可求得g（x）的最大值为g（1）=$\frac{2}{3}$，从而可求得实数t的取值范围．

解答 （本题满分7分）
（1）证明：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=x₁-x₂-$\frac{1}{{x}_{1}}$-+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{+x}_{1}x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂，∴1+x₁x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）（1{{+x}_{1}x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数…（3分）
（2）∵t（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）≥2^x-1，∴$\frac{{t（2}^{x}-1）{（2}^{x}+1）}{{2}^{x}}$≥2^x-1
∵x∈（0，1]，∴1＜2^x＜2…（4分）
∴t≥$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$ 恒成立，设g（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，显然g（x）在 （0，1]上为增函数，
g（x）的最大值为g（1）=$\frac{2}{3}$，故t的取值范围是[$\frac{2}{3}$，+∞）…（7分）

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性的判断与证明，突出考查等价转化思想与构造函数思想，属于难题．