Question

2．已知点P在抛物线y²=x上，点Q在圆（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-4）²=1上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}-1$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-1$
• C． $2\sqrt{3}-1$
• D． $\sqrt{10}-1$

Answer 1

分析 设P点坐标，求得圆心与半径，根据两点之间的距离公式，求得丨PC丨，根据函数的单调性，即可求得丨PC丨的最小值，则丨PQ丨_min=丨PC丨_min-r，即可求得答案．

解答 解：∵点P在抛物线y²=x上，设P（t²，t），
∵圆（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-4）²=1的圆心C（-$\frac{1}{2}$，4），半径r=1，
∴|PC|²=（t²+$\frac{1}{2}$）²+（t-4）²，
=t⁴+2t²-8t+$\frac{65}{4}$，
设f（t）=t⁴+2t²-8t+$\frac{65}{4}$，f′（t）=4t³+4t-8，f″（t）=12t²+4＞0恒成立，
∴f′（t）在R上单调递增，当f′（t）=0，解得：t=1，
∴f（t）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴当t=1时，取最小值，最小值为$\frac{45}{4}$，
∴丨PC丨的最小值为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
则丨PQ丨的最小值为：丨PQ丨_min=丨PC丨_min-r=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1，
∴|PQ|的最小值$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-1，
故选A．

点评 本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，导数与函数单调性的关系解题时要认真审题，注意两点间距离公式，考查计算能力，属于中档题．