Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1）．
（1）求与$\overrightarrow{a}$平行的单位向量的坐标；
（2）求与$\overrightarrow{a}$垂直的单位向量的坐标；
（3）若|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{5}$，且与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，求$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 （1）可设$\overrightarrow{e}$=（x，y），根据$\overrightarrow{e}$为单位向量便可得到$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1$，再由$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{e}$平行又可得到一个关于x，y的方程，这样联立这两个方程即可解出x，y，从而得出与$\overrightarrow{a}$平行的单位向量的坐标；
（2）方法同上，由垂直得到2x+y=0，这样联立$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1$即可得出x，y；
（3）可设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，根据已知条件便可得到$\left\{\begin{array}{l}{cos\frac{2π}{3}=\frac{2x+y}{10}=-\frac{1}{2}}\\{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，这样解出x，y，便能得出$\overrightarrow{b}$．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{e}=（x，y）$，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{e}$；
∴2y-x=0；
∴x=2y；
$\overrightarrow{e}$为单位向量，∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1$；
∴x²+y²=4y²+y²=1；
∴$y=±\frac{\sqrt{5}}{5}，x=±\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∴与$\overrightarrow{a}$平行的向量的坐标为$（\frac{2\sqrt{5}}{5}，\frac{\sqrt{5}}{5}）$，或$（-\frac{2\sqrt{5}}{5}，-\frac{\sqrt{5}}{5}）$；
（2）设$\overrightarrow{e}=（x，y）$，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1$；
$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{e}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}=2x+y=0$；
∴y=-2x，带入$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1$可解得$x=±\frac{\sqrt{5}}{5}$；
∴与$\overrightarrow{a}$垂直的单位向量的坐标为（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$），或（$-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}$）；
（3）设$\overrightarrow{b}=（x，y）$，根据条件得：cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{2x+y}{\sqrt{5}•（2\sqrt{5}）}=-\frac{1}{2}$；
∴2x+y=-5  ①；
又$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{5}$，即x²+y²=20，联立①可解得：
$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-\sqrt{3}}\\{y=2\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{3}}\\{y=-2\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{b}=（-2-\sqrt{3}，2\sqrt{3}-1）$，或$（-2+\sqrt{3}，-2\sqrt{3}-1）$．

点评 考查单位向量的概念，向量平行和垂直时，向量坐标的关系，向量夹角的余弦公式，以及数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度．