Question

13．证明：f（x）=x²+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上为单调增函数．

Answer 1

分析 利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答 证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₂x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）
=${x}_{2}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-（${x}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=${x}_{2}^{2}$-${x}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}*{x}_{2}}$
=（x₂-x₁）（x₁+x₂-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$
而由题设可知x₂-x₁＞0，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴=（x₂-x₁）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考察学生利用定义法证明和判断函数的单调性，要注意答题的规范性．