Question

11．已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，1+m+n=3，对称轴x=-$\frac{m}{2}$=-1，求出m，n，即可求出f（x）的解析式；利用函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称，求出g（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1，1]上是增函数，F′（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0在[-1，1]上成立，分离参数求出最小值，即可求实数λ的取值范围．

解答 解：（1）由题意，1+m+n=3，对称轴x=-$\frac{m}{2}$=-1，
∴m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x；
y=g（x）上任取点（x，y），则
∵函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称，
∴（-x，-y）在y=f（x）的图象上，
∴y=-x²+2x，
∴g（x）=-x²+2x；
（2）∵F（x）=g（x）-λf（x）=-（1+λ）x+2（1-λ）x在[-1，1]上是增函数，
∴F′（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0在[-1，1]上成立，
∴λ≤$\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{2}{1+x}$-1在[-1，1]上成立，
∵$\frac{2}{1+x}$-1在[-1，1]上的最小值为0，
∴λ≤0．

点评 本题考查函数解析式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．