Question

5．若四面体ABCD的棱长都相等，则AB与平面BCD所成角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，则H为底面正三角形BCD的重心，连接BH，则∠ABH=α，就是AB在平面BCD所成角，解直角三角形ABH即可．

解答 解：如图：在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，则H为底面正三角形BCD的重心，则∠ABH=α，就是AB在平面BCD所成角，
设棱长为a，由BM为CD边上的高，
则BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，在Rt△ABH中，则BH=$\frac{2}{3}$BM
=a$•\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴cosα=$\frac{BH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了直线与平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解．