Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，4）．
（Ⅰ） 若向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行，求k的值；
（Ⅱ） 若向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夹角为锐角，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先得到k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的坐标，然后根据平行的坐标关系得到关于k的等式，解之；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$坐标，结合数量积公式写出表示向量的夹角为锐角的等价条件．

解答 解：（Ⅰ）依题意得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（k，0）+（1，4）=（k+1，4），$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$=（3，8）-------（2分）
∵向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行
∴8（k+1）-3×4=0，---------------（4分）
解得k=$\frac{1}{2}$--------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（k+1，4），$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$=（3，8），
∵向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行的夹角为锐角
∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$）=3（k+1）+4×8＞0，且8（k+1）≠3×4--------（8分）
∴k＞-$\frac{35}{3}$且k$≠\frac{1}{2}$------------（10分）

点评 本题考查了平面向量的平行的性质以及向量夹角问题；关键是利用坐标等价表示向量的位置关系．