Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 先求出函数的导数（1）将a=1代入，求出f′（1）的值，从而求出切线方程；
（2）通过讨论a的范围，求出f′（x）的符号，从而得到函数的单调性．

解答 解　f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+a-2=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，（x＞0），
（1）当a=1时，f′（x）=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，f′（1）=-2，
∴所求的切线方程为y-f（1）=-2（x-1），即4x+2y-3=0．
（2）①当-a=2，即a=-2时，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{x}$≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当-a＜2，即-2＜a＜0时，∵0＜x＜-a或x＞2时，f′（x）＞0；-a＜x＜2时，f′（x）＜0，
f（x）在（0，-a），（2，+∞）上单调递增，在（-a，2）上单调递减；
③当-a＞2，即a＜-2时，∵0＜x＜2或x＞-a时，f′（x）＞0；
2＜x＜-a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2），（-a，+∞）上单调递增，在（2，-a）上单调递减，
综上a=-2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
-2＜a＜0时，f（x）在（0，-a），（2，+∞）上单调递增，在（-a，2）上单调递减，
a＜-2时，f（x）在（0，2），（-a，+∞）上单调递增，在（2，-a）上单调递减．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．