Question

11．已知$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，2cosx²-1），若函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用可得解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，利用周期公式即可得解．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即可解得f（x）的单调增区间．
（3）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可求$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，从而可得2≤f（x）≤3，即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+1=2sinxcosx-\sqrt{3}（2co{s}^{2}x-1）+1$，…（1分）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1…（3分）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1…（5分）
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，（k∈z）…（8分）
∴f（x）的单调增区间为[{kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z…（10分）
（3）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1…（12分）
∴2≤f（x）≤3
∴f（x）的值域为[2，3]…（14分）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用，考查了周期公式及正弦函数的图象和性质，属于基础题．