Question

19．已知抛物线y²=4x与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1$的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若MF=3，则该双曲线的离心率为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设M（m，n），则由抛物线的定义可得m=3，进而得到M的坐标，代入双曲线的方程，可得a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，
设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=3，解得m=1，
由n²=4，可得n=±2．
将M（1，±2）代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1$，
解得a²=$\frac{1}{5}$，
所以a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，c=$\frac{\sqrt{30}}{5}$
即有双曲线的离心率为$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．