Question

7．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k²=3＞2.706，即可得出结论；
（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．

解答 解：（1）

年龄/正误	正确	错误	合计
20～30	10	30	40
30～40	10	70	80
合计	20	100	120

K²=$\frac{120×（70×10-30×10）^{2}}{20×100×40×80}$=3＞2.706
∴有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关…（4分）
（2）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，…（5分）
20～30岁之间的人数是2人…（6分）
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$…（10分）

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

…（11分）
Eξ=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1     …（12分）

点评 本题考查独立性检验知识的运用，考查分布列和数学期望，考查概率知识，考查学生分析解决问题的能力，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．