Question

20．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=3•4ⁿ（ n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=n+a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1-a_n=3•4ⁿ（ n∈N^*），利用累加法可知a_n-a₁=3（4+4²+4³+…+4^n-1），进而计算可得结论；
（2）通过a_n=4ⁿ-2可知b_n=n+（4ⁿ-2），进而计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1-a_n=3•4ⁿ（ n∈N^*），
∴a₂-a₁=3×4，
a₃-a₂=3×4²，
a₄-a₃=3×4³，
…
a_n-a_n-1=3•4^n-1（n≥2），
以上n-1个式子相加，得
a_n-a₁=3（4+4²+4³+…+4^n-1）=3×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$=4ⁿ-4，
又∵a₁=2，
∴a_n=a₁+4ⁿ-4=4ⁿ-2．
∵a₁=2满足上式，
∴a_n=4ⁿ-2；
（2）∵a_n=4ⁿ-2，
∴b_n=n+a_n=n+（4ⁿ-2），
S_n=1+（4-2）+2+（4²-2）+3+（4³-2）…+n+（4ⁿ-2）
=（1+2+…+n）+（4+4²+4³…+4ⁿ ）-2n，
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-2n
=$\frac{1}{3}•$4ⁿ⁺¹+$\frac{1}{2}$•n²-$\frac{3}{2}$•n-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．