Question

7．若第一象限的点（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上，则$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}$的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 3
• C． $\frac{25}{9}$
• D． $\frac{17}{9}$

Answer 1

分析 先根据对称性得到a，b的关系，代入$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b}$利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：设A（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点B（x₀，y₀）在直线2x+y+3=0上，
∴线段AB的中点（$\frac{a{+x}_{0}}{2}$，$\frac{b{+y}_{0}}{2}$）在直线x+y-2=0上，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{2x}_{0}{+y}_{0}+3=0}\\{{K}_{AB}=\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}-a}}\\{\frac{a{+x}_{0}}{2}+\frac{b{+y}_{0}}{2}-2=0}\end{array}\right.$，∴a+2b=9，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b}$=$\frac{a+2b}{9a}$+$\frac{8a+16b}{9b}$=$\frac{17}{9}$+$\frac{2b}{9a}$+$\frac{8a}{9b}$≥$\frac{17}{9}$+2$\sqrt{\frac{2b}{9a}•\frac{8a}{9b}}$=$\frac{25}{9}$，
当且仅当：$\frac{2b}{9a}$=$\frac{8a}{9b}$即b=2a时“=”成立，
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查图象的对称性，是一道中档题．