Question

4．将3名男生和4名女生排成一行，在下列不同的要求下，求不同的排列方法的种数：
（1）甲、乙两人必须站在两头；    
（2）男生必须排在一起；
（3）男生互不相邻；    
（4）甲、乙两人之间恰好间隔1人．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙两人安排在两头，②将其余5人全排列，安排在中间5个位置，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析，①、将男生看成一个元素，考虑3人之间的顺序，②、将3名男生的整体与4名女生进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析，①、将4名女生进行全排列，②、排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名男生，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，分3步进行分析，①、先安排甲乙2人，考虑其顺序，②、在剩余的5人中任选1人，排在甲乙2人之间，③、将3人看成一个元素，与剩余的4人进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）甲、乙两人必须站在两头，则先将甲乙2人安排在两端，有A₂²=2种方法，
其余5人站在中间5个位置，有A₅⁵=120种方法，
根据乘法原理可得，不同的排列方法共有2×120=240种；
（2）将男生看成一个元素，考虑3人之间的顺序，有A₃³=6种顺序，
将3名男生的整体与4名女生进行全排列，有A₅⁵=120种方法，
则男生必须排在一起的排法有6×120=720种；
（3）将4名女生进行全排列，有A₄⁴=24种顺序，
排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名男生，有A₅³=60种情况，
则男生互不相邻的排法有24×60=1440种；
（4）先安排甲乙2人，有A₂²=2种方法，
在剩余的5人中任选1人，排在甲乙2人之间，有5种情况，
将3人看成一个元素，与剩余的4人进行全排列，有A₅⁵=120种排法；
则甲、乙两人之间恰好间隔1人有2×5×120=1200种排法．

点评 本题主要考查了排列组合的运用，需要注意常见问题中的处理方法，特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，正难则反，运用排除法．