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    13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上三点A，B，P（位于x轴同侧）椭圆C的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
    （Ⅰ）当A的坐标为（0，1），AF1∥BF2时，求$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值
    （Ⅱ）当直线AP经过点（-2，0），且BP⊥y轴时，判断直线AF1与BF2的位置关系，并说明理由．

    分析 （Ⅰ）由题意可知：c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，b2=a2-c2=1，即可求得椭圆方程；求得丨AF1丨=$\sqrt{2}$，设直线BF2的方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，即可求得
    丨BF2丨，即可求得$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值；
    （Ⅱ）由题意可得：设直线AP的方程，代入椭圆方程，利用直线的斜率公式及韦达定理可得${k}_{A{F}_{1}}$-${k}_{B{F}_{2}}$=0，则直线AF1与BF2平行．

    解答 解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，
    b2=a2-c2=1，
    ∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
    由A（0，1），F1（-1，0），丨AF1丨=$\sqrt{2}$，
    则直线AF1的斜率k=$\frac{1-0}{0-（-1）}$=1，则直线BF2的方程y=x-1，
    $\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
    由A，B，P（位于x轴同侧）则B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
    丨BF2丨=$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
    ∴$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}$=3
    $\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值3；
    （Ⅱ）由直线AP经过点（-2，0），设直线AP：y=k（x+2），设A（x1，y1），P（x2，y2），
    由BP⊥y轴，则B（-x2，y2），
    $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0，
    x1+x2=-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
    则AF1的斜率${k}_{A{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+1}$，BF2的斜率${k}_{B{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-1}$，
    则${k}_{A{F}_{1}}$-${k}_{B{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}+1）+{y}_{2}（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
    由y2（x1+1）+（x2+1）y1=k2（x2+2）（x1+1）+（x2+1）×k1（x1+2）=k[2x1x2+3（x1+x2）+4]
    =k[2×$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+3×（-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+4]=0，
    ∴${k}_{A{F}_{1}}$=${k}_{B{F}_{2}}$，
    ∴直线AF1与BF2平行．

    点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．

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