Question

13．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线的两条渐近线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$），则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （$\sqrt{2}$，2）
• D． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，令x=c，求得B，C的坐标，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得$\frac{\frac{bc}{a}}{c-x}$•（-$\frac{\frac{bc}{a}}{c-a}$）=-1，求出c-x，利用D到直线BC的距离小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$），建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得D为△ABC的垂心，
即有AD⊥BC，即D在x轴上，
令x=c，可得y=$\frac{b}{a}$x=$\frac{b}{a}$•c=$\frac{bc}{a}$，
B（c，$\frac{bc}{a}$），同理C（c，-$\frac{bc}{a}$），
由BD⊥AC，可得k_BD•k_AC=-1，
由题意，A（a，0），
设D（x，0），则由BD⊥AC得$\frac{\frac{bc}{a}}{c-x}$•（-$\frac{\frac{bc}{a}}{c-a}$）=-1，
∴c-x=$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$，
∵D到直线BC的距离小于2（a+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）=2（a+c），
∴$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}（c-a）}$＜2（a+c），
∴$\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}$＜2（c²-a²）=2b²，
则c²＜2a²，
即c＜$\sqrt{2}$a，
即1＜e＜$\sqrt{2}$，
则曲线的离心率的取值范围是（1，$\sqrt{2}$）．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．