Question

1．设函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）在$x=\frac{π}{3}$处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其增区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）•cosx-1，求函数g（x）在区间$（0\;，\;\frac{π}{2}）$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在$x=\frac{π}{3}$处取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间．
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用可求解析式g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由范围x∈$（0\;，\;\frac{π}{2}）$，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由题意，T=2π，∴$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1，
∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在$x=\frac{π}{3}$处取得最大值2，
∴A=2，sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∴φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵0＜ϕ＜π
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
∴由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z
∴所求单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]k∈Z．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）•cosx-1=2sin（x+$\frac{π}{6}$）•cosx-1=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈$（0\;，\;\frac{π}{2}）$，可得：2x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，可得：g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$∈（-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数的解析式，考查函数的单调性，正确求函数的解析式是关键，属于中档题．