Question

10．平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的渐近线与抛物线C₂：x²=2px（p＞0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为抛物线C₂的焦点，则b=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，由此可得b．

解答 解：联立渐近线与抛物线方程得A（pb，$\frac{1}{2}p{b}^{2}$），B（-pb，$\frac{1}{2}p{b}^{2}$），抛物线焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），
由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，
又k_BF=$\frac{1}{4b}-\frac{b}{2}$，k_OA=$\frac{b}{2}$，
所以（$\frac{1}{4b}-\frac{b}{2}$）$\frac{b}{2}$=-1，∴b=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$，

点评 本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得BF⊥OA是解决本题的关键，考查学生的计算能力．