Question

18．已知复数z₁=1+$\sqrt{3}$i，|z₂|=3，z₁z₂是正实数，则复数z₂=z₂=$\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$．

Answer 1

分析 设复数z₂=a+bi（a，b∈R），求出z₁z₂，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．

解答 解：设复数z₂=a+bi（a，b∈R），
z₁z₂=$（1+\sqrt{3}i）（a+bi）=（a-\sqrt{3}b）+（b+\sqrt{3}a）i$，
∵|z₂|=3，z₁z₂是正实数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=3}\\{b+\sqrt{3}a=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
则复数z₂=$\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$．
故答案为：z₂=$\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．