过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点F作一条直线.当直线倾斜角为$\frac{π}{6}$时.直线与双曲线左.右两支各有一个交点.当直线倾斜角为$\frac{π}{3}$时.直线与双曲线右支有两个不同的交点.则双曲线离心率的取值范围为($\frac{2\sqrt{3}}{3}$.2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线倾斜角为$\frac{π}{6}$时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，当直线倾斜角为$\frac{π}{3}$时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．

分析要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即$\frac{b}{a}$＜tan60°=$\sqrt{3}$，求得a和b的不等式关系，进而根据b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围；再由当直线倾斜角为$\frac{π}{6}$时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，可得$\frac{b}{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，同样可得e的范围，最后综合可得求得e的范围．

解答解：当直线倾斜角为$\frac{π}{3}$时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，
需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即$\frac{b}{a}$＜tan60°=$\sqrt{3}$，
即b＜$\sqrt{3}$a，
∵b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$
∴$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＜$\sqrt{3}$a，
整理得c＜2a，
∴e=$\frac{c}{a}$＜2；
当直线倾斜角为$\frac{π}{6}$时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点，
可得$\frac{b}{a}$＞tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有b＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
由 $\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
整理得c＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
综上可得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜e＜2．
故答案为：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．

点评本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率与直线的斜率的关系，考查运算能力，属于中档题．

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