Question

1．将一块边长为6cm的正方形纸片，先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则其体积为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$cm³．

Answer 1

分析 根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，计算出a，代入公式即可．

解答 解：

∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴正四棱锥的斜高为a，
∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2$\sqrt{2}$
∴正四棱锥的体积是$\frac{1}{3}$a²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$cm³，
故答案为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．