Question

6．已知x＞2y＞0，且满足$\frac{x}{2}+\frac{1}{y}+\frac{8}{x-2y}$=10．则实数x的最大值为18．

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$=10-$\frac{1}{2}$x，即有[2y+（x-2y）]（$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$）=（10-$\frac{1}{2}$x）x，将等式左边展开，运用基本不等式可得x的二次不等式，解不等式可得x的最大值．

解答 解：x＞2y＞0，且满足$\frac{x}{2}+\frac{1}{y}+\frac{8}{x-2y}$=10，
可得$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$=10-$\frac{1}{2}$x，
即有[2y+（x-2y）]（$\frac{2}{2y}$+$\frac{8}{x-2y}$）=（10-$\frac{1}{2}$x）x，
可得10+$\frac{2（x-2y）}{2y}$+$\frac{16y}{x-2y}$=（10-$\frac{1}{2}$x）x≥10+2$\sqrt{\frac{2（x-2y）}{2y}•\frac{16y}{x-2y}}$=18，
当且仅当x-2y=4y，即x=6y，取得等号．
即有x²-20x+36≤0，
解得2≤x≤18．
可得x的最大值18．
故答案为：18．

点评 本题考查最值的求法，注意运用变形和基本不等式，考查转化思想，转化为x的二次不等式，考查运算能力，属于中档题．