Question

18．设函数f（x）=$\frac{（x+2）^{2}+sinx}{{x}^{2}+4}$的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．

Answer 1

分析 化f（x）为1+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，由g（x）=$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，定义域为R，判断g（x）的奇偶性，由图象性质可得g（x）的最值之和为0，进而得到所求和．

解答 解：函数f（x）=$\frac{（x+2）^{2}+sinx}{{x}^{2}+4}$
=$\frac{{x}^{2}+4+4x+sinx}{{x}^{2}+4}$=1+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，
由g（x）=$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$，定义域为R，
可得g（-x）+g（x）=$\frac{-4x-sinx}{{x}^{2}+4}$+$\frac{4x+sinx}{{x}^{2}+4}$=0，
可得g（x）为奇函数，
由奇函数的图象关于原点对称，
可得g（x）的最大值a与最小值b的和为0，
则M+m=a+1+b+1=（a+b）+2=2．
故答案为：2．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用转化法，由奇函数的性质：最值之和为0，考查运算能力，属于中档题．