Question

已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点B和左焦点F，直线l被圆O：x²+y²=4截得的弦AB的中点为M．
（1）若|AB|=

4 5

5

，求实数k的值；
（2）顶点为O，对称轴为y轴的抛物线E过线段BF的中点T且与椭圆C在第一象限的交点为S，抛物线E在点S处的切线m被圆O截得的弦PQ的中点为N，问：是否存在实数k，使得O、M、N三点共线？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

2

k2+1

=

4 5

5

，再由k=k_FB＞0，能求出k=

1

2

．
（2）由已知条件推导出T （-

1

k

，1）．设抛物线E的方程为y=tx²（t＞0），推导出抛物线E的方程为y=k²x²，假设O、M、N三点共线，得到k2=-

59

63

，假设不成立，由此求出不存在实数k，使得O、M、N三点共线．

解答： 解：（1）圆O的圆心为O（0，0），半径为r=2
∵OM⊥AB，|AB|=

4 5

5

，∴|OM|=

r2-( |AB| 2 )2

=

4 5

5

，…（2分）
∴

2

k2+1

=

4 5

5

，∴k2=

1

4

，
又k=k_FB＞0，∴k=

1

2

．…（5分）
（2）∵F（-

2

k

，0），B（0，2），T为BF中点
∴T （-

1

k

，1）．
设抛物线E的方程为y=tx²（t＞0），
∵抛物线E过T，∴1=t•

1

k2

，∴t=k²，
∴抛物线E的方程为y=k²x²，…（7分）
∴y'=2k²x，设S（x₀，y₀），则km=y ′|x=x0=2k2x0，…（8分）
假设O、M、N三点共线，
∵OM⊥l，ON⊥m，∴l∥m，…（9分）
又k_l=k＞0，∴k_l=k_m，∴k=2k²x₀，
∴x0=

1

2k

，y0=k2

x

2 0

=k2•

1

4k2

=

1

4

，…（10分）
∵S在椭圆C上，∴

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，
结合 b=2，c=

2

k

，a2=b2+c2=4+

4

k2

，
得

1 4k2

4+ 4 k2

+

1 16

4

=1，∴k2=-

59

63

，∴k无实数解，矛盾，
∴假设不成立，
故不存在实数k，使得O、M、N三点共线．…（13分）

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．