【题目】下列四个命题:
①圆与直线
相交,所得弦长为
;
②直线与圆
恒有公共点;
③若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为
;
④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为
.
其中,正确命题的序号为__________.(写出所有正确命题的序号)
【答案】②④.
【解析】试题分析:①②是直线和圆的位置关系及弦长问题,一般转化为圆心到直线的距离问题,但本题中很容易看出①中直线x﹣2y=0过圆心,②中直线和圆均过原点;③④为与球有关的组合体问题,结合球的截面性质,球心与截面圆心的连线垂直于截面圆处理.
详解:①圆心(﹣2,﹣1)在直线x﹣2y=0上,即直线x﹣2y=0过圆心,所得弦长为直径4,结论错误;
②∵直线y=kx与圆(x﹣cosθ)2+(y﹣sinθ)2=1横过原点,故恒有公共点正确;
③球直径为正方体的对角线长即 ,故求半径R=
,球表面积为s=4πR2=27π,结论错误;
由上图可知,AH=,
,∴R=
,
∵,∴
,∴
,结论正确.
故答案为:②④
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【题目】因金融危机,某公司的出口额下降,为此有关专家提出两种促进出口的方案,每种方案都需要分两年实施。若实施方案一,预计第一年可以使出口额恢复到危机前的倍、
倍、
倍的概率分别为
、
、
;第二年可以使出口额为第一年的
倍、
倍的概率分别为
、
。若实施方案二,预计第一年可以使出口额恢复到危机前的
倍、
倍、
倍的概率分别为
、
、
;第二年可以使出口额为第一年的
倍、
倍的概率分别为
、
。实施每种方案第一年与第二年相互独立。令
表示方案
实施两年后出口额达到危机前的倍数。
(1)写出的分布列;
(2)实施哪种方案,两年后出口额超过危机前出口额的概率更大?
(3)不管哪种方案,如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额,预计利润分别为万元、
万元、
万元,问实施哪种方案的平均利润更大?
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【题目】下表是最近十届奥运会的年份、届别、主办国,以及主办国在上届获得的金牌数、当届
获得的金牌数的统计数据:
年份 | 1972 | 1976 | 1980 | 1984 | 1988 | 1992 | 1996 | 2000 | 2004 | 2008 |
届别 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
主办国家 | 联邦 德国 | 加拿大 | 苏联 | 美国 | 韩国 | 西班牙 | 美国 | 澳大 利亚 | 希腊 | 中国 |
上届金牌数 | 5 | 0 | 49 | 未参加 | 6 | 1 | 37 | 9 | 4 | 32 |
当界金牌数 | 13 | 0 | 80 | 83 | 12 | 13 | 44 | 16 | 6 | 51 |
某体育爱好组织,利用上表研究所获金牌数与主办奥运会之间的关系,
(1)求出主办国在上届所获金牌数(设为)与在当届所获金牌数(设为
)之间的线性回归方程
其中
(2)在2008年第29届北京奥运会上日本获得9块金牌,则据此线性回归方程估计在2020 年第 32 届东
京奥运会上日本将获得的金牌数为(所有金牌数精确到整数)
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:AE⊥平面PCD;
(2)求二面角A-PD-C的正弦值.
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【题目】某中学在“三关心”(即关心家庭、关心学校、关心社会)的专题中,对个税起征点问题进行了学习调查.学校决定从高一年级800人,高二年级1000人,高三年级800人中按分层抽样的方法共抽取13人进行谈话,其中认为个税起征点为3000元的有3人,认为个税起征点为4000元的有6人,认为个税起征点为 5000元的有4人.
(1)求高一年级、高二年级、高三年级分别抽取多少人?
(2)从13人中选出3人,求至少有1人认为个税起征点为4000元的概率;
(3)记从13人中选出3人中认为个税起征点为4000元的人数为,求
的分布列与数学期望.
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【题目】为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关,现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查,得到如下2×2列联表:(单位:人).
报考“经济类” | 不报“经济类” | 合计 | |
男 | 6 | 24 | 30 |
女 | 14 | 6 | 20 |
合计 | 20 | 30 | 50 |
(Ⅰ)据此样本,能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关?
(Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况,现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人,设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X,求随机变量X的概率分布及数学期望.
附:参考数据:
P(X2≥k) | 0.05 | 0.010 |
k | 3.841 | 6.635 |
(参考公式:X2= )
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【题目】已知函数和
在
的图象如图所示:
给出下列四个命题:
(1)方程有且仅有6个根;
(2)方程有且仅有3个根;
(3)方程有且仅有5个根;
(4)方程有且仅有4个根.
其中正确命题的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
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【题目】某学校为准备参加市运动会,对本校高一、高二两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”,成绩在175cm以下定义为“不合格”.
(1)如果从所有运动员中用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共10人,问就抽取“合格”人数是多少?
(2)若从所有“合格”运动员中选取2名,用X表示所选运动员来自高一队的人数,试写出X的分布图,并求X的数学期望.
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【题目】在下列向量组中,可以把向量=(3,2)表示出来的是( )
A. =(0,0),
=(1,2)B.
=(-1,2),
=(5,-2)
C. =(3,5),
=(6,10)D.
=(2,-3),
=(-2,3)
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