Question

12．已知两点M（-1，0），N（1，0），若直线y=k（x-2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $[-\frac{1}{3}\;，\;\frac{1}{3}]$
• C． $[-\frac{1}{3}\;，\;0）∪（0\;，\;\frac{1}{3}]$
• D． $[-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;，\;0）∪（0\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$

Answer 1

分析 若直线y=k（x-2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则此直线与以MN为直径的圆必须有公共点，但是去掉x轴．

解答 解：若直线y=k（x-2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，
则此直线与以MN为直径的圆必须有公共点，但是去掉x轴．
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，k≠0，化为：0＜k²$≤\frac{1}{3}$．
解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k$≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，且k≠0．
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．