Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，S₃=-3，则$\frac{S_n}{2^n}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求S_n，再判断$\frac{S_n}{2^n}$的单调性，根据单调性可得答案

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S₃=-3，
∴${S}_{3}=3×1+\frac{3×2}{2}×d=-3$，
解得d=-2，
∴${S}_{n}=n×1+\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=-n²+2n，
∴$\frac{S_n}{2^n}$=$\frac{1-（n-1）^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-{n}^{2}}{{2}^{n}}$
设f（n）=$\frac{2n-{n}^{2}}{{2}^{n}}$=$\frac{n（2-n）}{{2}^{n}}$，
当n=1时，f（1）=$\frac{1}{2}$，
当n=2时，f（2）=0，
当n=3时，f（3）=-$\frac{3}{8}$
当n=4时，f（4）=-$\frac{4}{8}$=-$\frac{1}{2}$
当n＞2时，f（n）＜0，
∴$\frac{S_n}{2^n}$的最大值为$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式，以及数列的函数特征，属于中档题．