Question

已知x、y为非零的实数，求

x2+4xy

x2+2y2

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：设

x2+4xy

x2+2y2

≤a，构造x²+4xy≤ax²+2ay²恒成立的问题，巧用换元法，转化为2at²-4t+a-1≤0恒成立，进行分类讨论，求出a的取值范围，问题得以解决

解答： 解：设

x2+4xy

x2+2y2

≤a，
∴x²+4xy≤ax²+2ay²恒成立
即2ay²-4xy+（a-1）x²≥0，
∵x、y为非零的实数，两边同除以x²得，
∴2a(

y

x

)2-4•(

y

x

)+（a-1）≥0恒成立，
设t=

y

x

，t≠0，
∴原不等式即2at²-4t+a-1≥0恒成立，
当a=0时，即-4t-1≤0不能恒成立，
当a＞0时，
设f（t）=2at²-4t+a-1为开口朝上的抛物线，
∴f（t）≤0不可能恒成立
当a＜0时，f（t）=2at²-4t+a-1为开口朝下的抛物线，
若f（t）≤0恒成立需△=16-8a（a-1）≤0
即a²-a-2≥0
解得a≥2或a≤-1，
∵a＜0，
∴a≤-1
综上，实数a的最大值为-1，
故

x2+4xy

x2+2y2

的最大值为-1

点评：本题考查了最值问题，以及函数恒成立的问题培养了学生的转化能力，知识的运用能力，分类讨论的能力，属于难题