Question

过点P（1，2）的直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，当△AOB（0为坐标原点）的面积最小时，A、B两点恰好是曲线R：

x

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的顶点．
（1）求曲线R的方程；
（2）过点P的直线交曲线R于C、D（异于A、B）两点，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,不等式的解法及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设直线l的方程为，

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由于直线l过点（1，2），代入直线方程，利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值时a，b，即可得到A，B的坐标，进而得到曲线R的方程；
（2）讨论直线CD的斜率不存在和存在两种情况，求出CD的弦长，再由面积公式，比较，即可得到最小值．

解答： 解：由题意可设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
∵直线l过点（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1．
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，∴ab≥8，当且仅当

1

a

=

2

b

，即a=2，b=4是取等号．
此时△AOB的面积取得最小值

1

2

ab=4，
直线l的方程为

x

2

+

y

4

=1．
此时A（2，0），B（0，4），
由于A、B两点恰好是曲线R：

x

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的顶点，
即有m=2，n=16，即有曲线R的方程为：

x

2

+

y2

16

=1；
（2）当直线CD的斜率不存在时，即方程x=1，代入曲线方程，解得，y=±2

2

，
即有CD=4

2

，A，B到直线CD的距离为1，四边形ACBD面积为

1

2

×2×4

2

=4

2

；
当k存在时，设直线CD：y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，
代入曲线方程，可得，k²x²+[2k（2-k）+8]x+（2-k）²-16=0，
由于有两个交点，则判别式△=[2k（2-k）+8]²-4k²[（2-k）²-16]＞0，解得，k≠0，
且x₁+x₂=-

2k(2-k)+8

k2

，x₁x₂=

(2-k)2-16

k2

，
则四边形ACBD的面积为

1

2

×2×

|k+2|

1+k2

×

1+k2

×

( 2k(2-k)+8 -k2 )2- 4(2-k)2-64 k2

=4

2

|k+2|•

k2+2k+2

k2

＞4

2

，
则有四边形ACBD面积的最小值为4

2

．

点评：本题考查直线方程的点斜式和截距式的运用，基本不等式的运用：求最值，考查四边形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．