Question

已知直线x=2与椭圆C：

x2

16

+

y2

4

=1交于两点E₁，E₂，任取椭圆C上的点P，若

OP

=a

OE1

+b

OE2

（a，b∈R），则ab的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由题意联立方程可求出E₁（2，

3

），E₂（2，-

3

），再由

OP

=a

OE1

+b

OE2

（a，b∈R）写出点P的坐标，代入椭圆化简可得a²+b²-ab=1，从而求ab的最大值．

解答： 解：联立x=2与

x2

16

+

y2

4

=1，
解得E₁（2，

3

），E₂（2，-

3

），
∴

OP

=a

OE1

+b

OE2

=（2a+2b，

3

a-

3

b），
∴P（2a+2b，

3

a-

3

b），
∵点P在椭圆C上，
∴

(2a+2b)2

16

+

( 3 a- 3 b)2

4

=1，
∴a²+b²-ab=1，
∴a²+b²=ab+1≥2ab，
∴ab≤1，
即ab的最大值是1．
故答案为：1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线联立求值及不等式的应用，属于中档题．