已知椭圆经过点.且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.(1)求椭圆的方程,(2)直线与椭圆交于.两点.若线段的垂直平分线经过点.求(为原点)面积的最大值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线经过点，求
（为原点）面积的最大值.

（1）(2) 面积的最大值为.

解析试题分析：（1）由已知得，再根据椭圆经过点，代入椭圆方程即可.
(2)设
当直线的斜率为时,可得，由，得到
；
当直线的斜率不为时，将的方程为与椭圆方程联立，
整理得，
由, 得到
应用韦达定理，，化简得到
代入，得到；
通过确定原点到直线的距离为，得到求其最值.
试题解析：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴， ∴，            2分
又∵椭圆经过点，代入可得，
∴故所求椭圆方程为                 4分
(2)设因为的垂直平分线通过点，显然直线有斜率，
当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴，此时
所以，因为，所以

所以，当且仅当时，取得最大值为，      7分
当直线的斜率不为时，则设的方程为
所以，代入得到           8分
当,   即
方程有两个不同的解又，          10分
所以，又，化简得到
代入，得到

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