Question

【题目】已知函数（，为自然对数的底数），是的导函数．

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得对一切恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（2）2.

【解析】试题分析: （1）根据已知条件求出，设.根据得出在上为增函数，即可得证.

（2）令，则只能取或.当时，设，求出.由得在上是减函数，在是增函数，即.故对一切恒成立.

试题解析：（Ⅰ）当时，，则

令，则

令，得，故在时取得最小值

∵，∴在上为增函数．

∴．

（Ⅱ），

由，得对一切恒成立

当时，可得，所以若存在，则正整数的值只能取1,2

下面证明当时，不等式恒成立

设，则

由（Ⅰ） ∴

∴当时，；当时，

即在上是减函数，在上是增函数

∴

当时，不等式恒成立

所以的最大值是22．